Terça-feira, 3 de Outubro de 2006

Laplace

 

Laplace, Pierre Simon (1749-1827)

Elaborado por: Fábio Andreotti - RA 930725

Astrônomo e matemático francês , Marquês de Pierre Simon de Laplace nasceu na localidade de Beumont-en-Auge , Província da Normandia em 28 de março de 1749. Filho de um próspero fazendeiro , revelou um grande talento e perspicácia para a matemática enquanto estudava teologia na Universidade de Caen.

Embora de origem modesta , pôde estudar na Escola Militar da cidade natal, graças ao interesse de alguns vizinhos de seu pai, abastados e mais esclarecidos. Pouco depois , tornou-se professor de matemática nessa escola e, em 1767, foi para Paris , após encaminhar muitas cartas de recomendação a Jean d'Alambert , um dos matemáticos mais célebres da época. Não recebendo qualquer resposta , enviou ao mestre um trabalho sobre mecânica que lhe patenteou definitivamente o talento de jovem estudioso. Desfrutando da admiração de D'Alambert , obteve o lugar de professor da Academia Militar de Paris. Por volta de 1784 , tomou parte na organização da Escola Politécnica e da Escola Normal, e ingressou na antiga Academia de Ciências. Daí em diante, foi distinguido por vários cargos políticos de importância, entre os quais o de Ministro do Interior, com Napoleão , e o de vice-presidente do Senado, em 1803. Par e Marquês na restauração, figurou como um dos "quarenta imortais" da Academia Francesa.

Laplace foi o mais influente dentre os cientistas franceses em toda a história. Sua reputação o tornou célebre e imortal, ficando conhecido como o " Newton francês ". Sua carreira foi importante por suas contribuições técnicas para as ciências exatas, para o ponto de vista filosófico que ele desenvolveu durante sua vida e pela parcela que tomou parte na formação das modernas disciplinas científicas. Seus últimos anos de vida foram vividos em Arcueil , onde ele e um amigo químico chamado Bertholet encontravam-se associados a um círculo filosófico conhecido como Société d'Arcueil. Laplace aparentemente encontrou uma extensão anormal da modéstia quando estava vivendo seus últimos momentos na cama , onde ele pronunciou : " O conhecimento que temos das coisas é pequeno, na verdade , quando comparado com a imensidão daquilo em que ainda somos ignorantes ".

Contexto histórico

A melhor definição que encontramos para caracterizar a França da época de Laplace está descrita no parágrafo a seguir :

 

" No final do século XVIII , a estrutura social da França era essencialmente Aristocrática. Conservava características de origem, isto é , da época em que a terra constituía a única forma de riqueza social e conferia a seus possuidores o poder sobre aqueles que a cultivavam" ( Albert Soboul , História da Revolução Francesa ).

Este final de século a que se refere o mencionado parágrafo foi marcado por um período conturbado, onde ansiava-se por mudanças radicais na estrutura política , social e econômica no país. As classes mais baixas , formadas por camponeses , burgueses e artesãos, lutavam pelo fim da desigualdade tributária, pelo fim dos privilégios políticos da nobreza e pelo fim dos privilégios econômicos do clero. As atividades mercantis dos burgueses conflitavam-se constantemente com os arraigados princípios do feudalismo.

Sinteticamente , buscava-se a liberdade e a igualdade e cada vez mais evidenciava-se a eclosão de uma revolução. Foi justamente nesta época que ocorreu a Revolução Francesa (1789) cujos efeitos fizeram-se sentir em quase toda a Europa, pois, por trás das reivindicações de uma classe social de um país, estava nascendo uma nova ideologia liberal-democrata que contradizia os princípios do Absolutismo e viria a adequar-se a uma nova ordem sócio-econômica: o capitalismo.

Culturalmente , presenciava-se a influência dos iluministas que caracterizavam-se por adotar uma filosofia de valorização da razão e o abandono dos preconceitos tradicionais. Dentre os pensadores da época podemos citar Locke, Bayle , Adam Smith , Rousseau, Voltaire, Diderot e Kant.

Obras e contribuições

A vida de Laplace como cientista pode ser dividida em quatro períodos , todos eles apresentando novas descobertas e evoluções.

No primeiro período (1768-1778 ) , Laplace desenvolveu a solução de problemas de cálculo integral , matemática astronômica , cosmologia e teoria de chances de jogos. Durante este período formativo , ele estabeleceu seu estilo, reputação, posição filosófica, certas técnicas matemáticas e um programa de pesquisa em duas áreas : probabilidade e mecânica celestial , nas quais , a partir de então , trabalhou para o resto de sua vida.

No segundo período (1778-1789 ), ele iniciou a pesquisa na sua terceira área de maior interesse: a física. Sua colaboração foi , juntamente com Lavoisier , relativa à teoria do calor.

O terceiro e revolucionário período (1789-1805 ), centralizou-se na preparação do Sistema Métrico. Mais importante, na década de 1795 a 1805, sua influência foi fundamental para as ciências exatas no mais novo instituto fundado da França: a Escola Politécnica foi o local onde a primeira geração de físicos matemáticos foi treinada.

O trabalho do quarto período (1805-1827 ) exibe elementos de culminação e declínio. Laplace , em companhia de Berthollet , fundou uma escola, circundando ele mesmo com disciplinas na informal Société d'Arcueil. O centro de seu interesse foi em física: ação capilar , a teoria do calor , óptica corpuscular e a velocidade do som.

No começo de 1810 , Laplace voltou novamente sua atenção para a probabilidade, tomando como tópico fundamental a teoria dos erros. Também foi abordado o problema dos quadrados mínimos.

É neste período que Laplace desenvolve um método de solução integral para equações diferenciais: a Transformada de Laplace, cuja teoria , aliás , o consagrou na área de cálculo devido à praticidade oferecida na resolução de equações diferenciais.

Nestes quatro períodos de pesquisa e descobertas , Laplace publicou diversas obras , sendo as principais citadas a seguir: Traité de mécanique céleste , onde foi desenvolvida uma explanação matemática , com base na teoria da gravitação , dos movimentos dos corpos do sistema solar; Exposition du système du monde , onde foi apresentada sua famosa hipótese nebular a qual considerava a origem do sistema solar como resultado de uma contração e resfriamento de uma grande , aplainada e rotativamente lenta nuvem de gás incandescente ; Théorie analytique des probabilités , onde , como o próprio nome sugere , aborda-se aspectos da ciência probabilística.

Laplace desenvolveu inúmeros teoremas nas mais variadas áreas , sendo inviável , portanto , a citação de todas elas neste trabalho. Desta maneira , serão explicitadas logo a seguir as principais teorias formuladas por ele.

Equação Diferencial de Laplace

Sua importância central está na matemática pura e na física matemática. Uma função u(x,y) que possui primeira e segunda derivadas parciais contínuas e que satisfazem a equação de Laplace num ponto da vizinhança é chamada harmônica naquele ponto.

Esta equação é utilizada para definir o fluxo de eletricidade e o fluxo de qualquer fluido incompressível.

Estudos sobre a teoria do calor

O assunto enfocado por Laplace , juntamente com Lavoisier , nesta área refere-se à idéia de medir a quantidade de calor durante o processo de fusão de uma certa quantidade de gelo. Tal estudo é dividido em quatro partes : a primeira discute a natureza do calor e a sua quantificação; a segunda , a determinação dos calores específicos de substâncias selecionadas e de alguns calores de reação; a terceira , consequências teóricas e um programa para químico-física ; e a quarta , a aplicação das técnicas no estudo da combustão e da respiração.

A primeira parte consistiu apenas de uma análise e, posteriormente, reformulação das teorias sobre o calor já existentes: teoria da variação da energia cinética das moléculas de um corpo - esta teoria estabelece que a quantidade de calor de um corpo pode ser medida como a soma da energia cinética dos movimentos vibratórios das suas partículas; o modelo calórico de Robert Fox; teoria do calor livre, que estabelece que o calor total contido num corpo pode ser transferido para outro.

O problema da determinação dos calores específicos no caso mais simples da mistura de duas substâncias miscíveis foi formulado algebricamente por Laplace. Ele tomou m e m' como sendo as respectivas massas , a e a' , as temperaturas iniciais e b , a temperatura resultante da mistura. Então a razão dos calores específicos q e q' é dada por :

 

q / q' = m'.(b - a') / m.(a - b)

Entretanto , uma aproximação tão simples era inaplicável para a determinação dos efeitos do calor envolvendo reações químicas , combustão e respiração, os três mais importantes processos de interesse. Frente a esta limitação, os autores (Laplace e Lavoisier) imaginaram um método para aplicação geral.

Suponha uma esfera de gelo coberta por uma fina casca capaz de isolar a superfície interna do calor da vizinhança. Suponha um corpo quente que foi introduzido no interior de uma cavidade desta esfera. Este calor poderia fundir uma porção da superfície interna até que ela zerasse a temperatura , e a massa da água seria proporcional ao calor requerido para provocar aquele efeito. Os equipamentos foram adquiridos e montados e uma das importantes conclusões foi que o calor necessário para se derreter uma libra de gelo elevava a temperatura de uma libra de água de 0ºR para 60 ºR. Os resultados, contudo, não foram muito promissores pois, não existia um modo de chegar àquela razão de massas através da simples mistura de substâncias a diferentes temperaturas: todo o processo ocorria com troca de calor entre as mesmas o que inviabilizava qualquer tentativa de mensuração de propriedades associadas ao fenômeno.

Outras tentativas foram realizadas sem obter grandes êxitos. Laplace iniciou , então, um programa para pesquisa e estudo do equilíbrio entre o calor, que tende a separar moléculas, e afinidade, as quais tratadas juntas, podem oferecer um método para comparar a intensidade destas forças de afinidade. Por exemplo, uma certa massa de gelo mergulhada num ácido seria fundida desde o momento em que o ácido fosse suficientemente enfraquecido para que sua atração pelas moléculas do gelo fossem balanceadas pelas suas forças mútuas de aderência. No prefácio do trabalho Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planétes, Laplace referiu-se aos experimentos com Lavoisier e repetiu a reflexão sobre a força atrativa de afinidade e a força repulsiva do calor.

A velocidade do som

Em 1802 , Laplace fez uma de suas mais duradouras contribuições para a ciência, num artigo que foi escrito por seu jovem pupilo Biot: " Sur la théorie du son , " no Journal de physique. Usando um conhecimento de fenômenos adiabáticos, os quais tinham se tornado disponíveis na França recentemente, Laplace sugeriu a Biot, como a notória discrepância de aproximadamente 10 por cento entre o valor experimental para a velocidade do som no ar e o valor calculado usando a expressão de Newton, v=(P/p)1/2 , poderia ser removida. De acordo com Laplace, a discrepância surgiu da negligência por parte de Newton das mudanças na temperatura que ocorriam nas regiões de compressão e rarefação que compunham a onda sonora.

Biot expressou a densidade do ar em qualquer ponto da onda sonora como p'=p(1+s) onde p é a densidade do ar não perturbado e s a mudança fracionária na densidade , tomada como positiva para a compressão. Analogamente, a pressão do ar pode ser expressa como P' = P(1+s) , onde P é a pressão do ar não perturbado. Entretanto ,como supôs Biot, se ocorresse aquecimento e resfriamento respectivamente nas regiões de compressão e rarefação, esta equação não poderia ser utilizada. Fazendo uma razoável suposição de que a mudança na temperatura era proporcional a s, Biot chegou na expressão P' = P(1 + s)(1 + ks) , onde k é uma constante. Assim , assumindo que s é pequeno e negligenciando os termos de s2 , Biot pode mostrar que a velocidade do som no ar é :

 

V = [(1 + k)P / p]1/2

Em 1816 Laplace mostrou que a constante de Biot, (1+ k), era igual à razão entre o calor específico a pressão constante (cp) e o calor específico a volume constante (cv). Disso segue que, mediante condições adiabáticas, a expressão final para a velocidade do som é :

 

V = (cp.P/ cv.p)1/2

A Transformada de Laplace

Esta era uma transformada integral extensivamente usada por Laplace na teoria da probabilidade.

A Transformada de Laplace é usada para a solução de equações diferenciais, para o cálculo de integrais definidas e em muitos ramos da matemática abstrata (análise funcional, cálculo operacional e teoria analítica numérica ).

O Laplaciano

O operador Laplaciano é envolvido em algumas das mais fundamentais equações da física matemática, a saber, equação de Laplace, equação de Poisson, várias equações de onda (como as de eletricidade e magnetismo, som, vibrações, a equação de Schrödinger da mecânica quântica), as equações de fluxo de calor e de difusão.

 
Bibliografia

American Council of Learned Societies. Dictionary of Scientific Biography , vol 15 & 16, pp.273-386.
McGraw Hill. Encyclopedia of Science and Technology , vol 7 , pp. 400-403.
Grolier. Encyclopedia Americana, vol 16 , p. 756.
 
 

 

publicado por Fernando Roriz às 11:46
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